Wang Haihua
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研究人口问题最简单和常用的Malthus和Logistic模型简单方便，对人口数量的发展变化可以给出预测。但这两类模型的两个明显的不足是：
（1）仅有人口总数，不能满足需要；
（2）没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每个人的情况逐个加以考虑，故可以把人口适当分组，考虑每一组人口的变化情况。
年龄是一个合理的分类标准，相同年龄的人口在生育、死亡方面可能大致接近。所以可以按年龄对人口进行分组来建立模型。在讨论其他生物的数量变化时，也可以根据生物的体重、高度、大小等因素对其分组，建立更加仔细的模型，给出更丰富的预测信息。下面介绍Leslie模型的一些结论。
我们以人口为例来进行叙述，其方法和思路适用于类似生物种群数量变化规律的研究。
由于男、女性人口通常有一定的比例, 为了简单起见, 只考虑女性人口 数。现将女性人口按年龄划分成 $m$ 个年龄组，即 $1,2, \cdots, m$ 组。每组年龄段可 以是 1 岁, 亦可是给定的几岁为一组, 如每 5 年为一个年龄组。现将时间 也离散为时段 $t_{k}, k=1,2, \cdots$ 。
记时段 $t_{k}$ 第 $i$ 年龄组的种群数量为 $x_{i}(k)(i=1,2, \cdots, m)$, 第 $i$ 年龄组的繁殖率为 $\alpha_{i}$; 第 $i$ 年龄组的死亡率为 $d_{i}, \beta_{i}=1-d_{i}$ 称为第 $i$ 年龄组的存活率。
基于上述符号和假设, 在已知 $t_{k}$ 时段的各值后, 在$t_{k+1}$ 时段, 第一年龄组种群数量是时段 $t_{k}$ 各年龄组繁殖数量之和, 即 $$ x_{1}(k+1)=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} x_{i}(k), $$
$t_{k+1}$ 时段第 $i+1$ 年龄组的种群数量是时段 $t_{k}$ 第 $i$ 年龄组存活下来的数量, 即 $$ x_{i+1}(k+1)=\beta_{i} x_{i}(k), \quad i=1,2, \cdots, m-1 . $$
记 $t_{k}$ 时段种群各年龄组的分布向量为 并记 $$ \begin{gathered} X(k)=\left[\begin{array}{c} x_{1}(k) \\ \vdots \\ x_{m}(k) \end{array}\right], \\ L=\left[\begin{array}{ccccc} \alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{m-1} & \alpha_{m} \\ \beta_{1} & \mathbf{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \beta_{2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \beta_{m-1} & 0 \end{array}\right], \end{gathered} $$ 则有 $X(k+1)=L X(k), k=0,1, \cdots$.
当第 $t_{0}$ 时段各年龄组的人数已知时, 即 $X(0)$ 已知时, 可以求得 $t_{k}$ 时段的 按年龄组的分布向量 $X(k)$ 为 $$ X(k)=L^{k} X(0), k=0,1, \cdots . $$ 由此可算出各时段的种群总量。
参考资料